“Las investigaciones en los fundamentos de la geometría
sugieren
el siguiente problema: Tratar de la misma manera, por medio
de
axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática
juegue
un papel importante: en primer lugar la teoría de
probabilidades
y la mecánica".
David Hilbert
Los griegos fueron los que formalizaron el conocimiento y muchos avances
técnicos de la antigüedad, es por esto que se les atribuyen todos estos logros aunque en realidad ellos no hayan inventado o
descubierto. El teorema de Pitágoras era conocido y utilizado mucho antes de que
Pitágoras lo escribiera y demostrara, en el siglo $XIX$ se encontraron tablas con
trinas pitagóricas en escritura cuneiforme (Mesopotamia); muchos enunciados que
se encuentran en los “Elementos” de Euclides, tales como teoremas trigonométricos,
constituyeron la base técnica de algunas de las edificaciones más reconocidas
del mundo antiguo, como las pirámides, y de cálculos astronómicos. Si estos
saberes no se hubieran precisado, probablemente se hubieran perdido en el
tiempo y la humanidad no tendría los avances que tiene ahora, entre otros no
existirían las geometrías hiperbólica y esférica, esta última donde se
establece la relatividad general.
Es por eso que Hilbert estaba muy interesado en el problema de la
axiomatización de la física matemática como un medio para la referencia y
deducción de teorías del mismo modo que la geometría de Euclides sirve
muchísimo para el desarrollo de la ciencia.
Sin embargo, los axiomas deben ser independientes ya que en otro caso uno
de ellos ameritaría una demostración a partir de los otros sin la cual la
teoría quedaría incompleta. El quinto postulado de Euclides, “por un punto
exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela”, se debatió durante
dos milenios pues se creía que era resultado de los anteriores postulados;
razonando por reducción al absurdo se verifico que el quinto postulado no es un
teorema y que existen otras geometrías, como la de Lobachevsky y la de Riemann,
donde el quinto postulado no se tiene.
Además de la independencia, surge una dificultad lógica en cualquier
demostración, de la validez de las hipótesis y del valor de verdad del proceso
que se hace para llegar a la tesis dependerá el éxito de la prueba, para
verificar las hipótesis es necesario considerarlas como tesis, si se hiciera
siempre sería un proceso infinito, o suponerlas como ciertas. Es por eso que se
exige una serie de axiomas o pilares irrefutables de donde partir, pero estos
axiomas no deben conducir a contradicciones. Por ejemplo, la paradoja de
Russell aparece al considerar el axioma del esquema de comprensión en los
axiomas de Zermelo-Fraenkel, pero con el axioma del esquema de separación se
elimina la contradicción.
Por tales razones, Hilbert expone la necesidad de matematización en las
ciencias porque todas caen bajo el método axiomático. Esto genera orientación y
orden en los procesos subsiguientes y lo observamos en la historia de la
física.
Galileo Galilei fue, históricamente, el primero en considerar expresiones
matemáticas para describir los fenómenos físicos que observaba, pero el más
reconocido es Isaac Newton, quien formalizó matemáticamente las leyes de
movimiento de los cuerpos con velocidades pequeñas a partir de la masa, la
posición, la velocidad y la aceleración, ayudado con su noción de límite. Con
el mismo espíritu de Newton, Maxwell, Planck y muchos otros observaron su
entorno, le dieron nombre a las características más importantes de los
fenómenos y jugaron matemáticamente con ellas, tomando como axiomas lo más
general.
Aunque estos resultados no son muy exactos, son una muy buena aproximación
de las condiciones reales (se adaptan a los experimentos) y cabe resaltar, casi
todo lo que hemos hecho hasta ahora se fundamenta en la mecánica clásica, la
geometría euclidiana y los fundamentos de la electricidad. Por ejemplo el viaje
del Apollo $XI$ a la luna se logró con la mecánica celeste producida por Newton
(ley de gravitación universal), Euler, Lagrange y Poincare (problema de tres
cuerpos restringido) aunque los cálculos no fueran muy exactos, de hecho está
abierto el problema de los tres cuerpos visto desde la teoría de Newton por su
complejidad.
Después llego la época “anti intuitiva” de la física donde el mundo dejo
de ser el confiable $\mathbb{R}^{3}$ surgieron la teoría de la relatividad y la mecánica
cuántica. La teoría cuántica surgió particularmente del experimento de la doble
rendija donde se vio que las partículas de tamaño menor a $10^{-9}$ m no se
comportaban como las de tamaño mayor (mecánica clásica). Entonces Heisenberg y
Schrödinger tomaron sus teorías de matrices y de ondas y axiomatizaron la
mecánica cuántica, ahora se está trabajando con geometría algebraica y grupos
cuánticos booleanos:
- El estado de uno o más objetos cuánticos (sistema) se describe por los vectores de $V=\mathbb{C}^{n}$, un espacio con producto interno. El sistema cuántico más simple tiene el espacio $V=\mathbb{C}^{2}$ y es llamado qubit.
- La evolución del sistema se describe por operadores unitarios que actúan sobre el espacio de estados.
- Antes de efectuar la medición del estado del sistema no tenemos certeza del resultado, sólo las probabilidades de los posibles resultados.
- El espacio de estados de un sistema cuántico compuesto es el producto tensorial de los espacios de estados de sus componentes.
Uno de los más interesantes teoremas que se deducen de estos axiomas es
que existen estados no factorizables en $\mathbb{C}^{4}$, lo que implica físicamente que dos
qubits sufren cambios en sus estados aunque estén en dos extremos de la
galaxia, esto es conocido como ENTANGLEMENT y es un fenómeno que se dedujo
matemática y estadísticamente pero se considera muy extraño, el mismo Einstein
no creía en él, lo consideraba una propiedad mágica. Luego de mucho tiempo se
pudo comprobar que existen pares de partículas con esta propiedad y ahora
constituye un hecho muy importante, entre otros, en la solución en tiempo
Polinomial de problemas NP con ordenadores cuánticos.
En la teoría de la relatividad Einstein utilizó un lenguaje matemático muy
amplio para su formalización, ecuaciones de Lorenz, tensores y geometría
diferencial. En esta última encontró un gran apoyo ya que tenía el teorema de
Gauss-Bonnet y las geodésicas para
encontrar la curvatura de las variedades diferenciables propuestas por Riemann.
Su comprobación en la realidad no fue para nada trivial, se llevó a cabo
durante un eclipse donde se observó que la luz se curvea cuando pasa cerca al
sol.
En conclusión, es muy difícil concebir el universo como un todo y saber
todo de él, pero podemos concebir algunas reglas básicas que funcionan en
algunos entornos, estos axiomas deben ser independientes y no deben conducir a
contradicciones pero sobre todo deben tener una presentación formal en alguna
geometría, es decir debe existir un modelo que toma teorías matemáticas y las
aplica a las formas o cuerpos de la realidad que la soporte.
Bibliografía
- Hilbert, David. Pensamiento Axiomático. Zúrich. 1917.
- Historia de la geometría. http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm
- López, Manuel. Algunos descubrimientos matemáticos del siglo XX. Valencia. España. 2007.
- Rañada, Manuel. David Hilbert, Hermann Minkowski, la Axiomatización de la Física y el Problema número seis. Universidad de Zaragoza. 2003.
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